Resolva as equações:
log 2(35-x^3)log 2(5-x)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log2l(35 - x^3r)log2l(5 - xr) = 3
O conteúdo envolvido é manipulação de logaritmos e solução de equações algébricas. Vamos precisar:
  1. Identificar o domínio em que os logaritmos existem e o denominador não se anula.
  2. Usar a propriedade logaUlogaV = 3 implies logaU = 3,logaV.
  3. Igualar argumentos via log2(35 - x^3) = log2l((5 - x)^3r).

Passo 2

Determinamos o domínio pela exigência de argumentos positivos e denominador não nulo:
35 - x^3 > 0, 5 - x > 0, log2(5 - x)neq 0
Isto é
x^3 < 35(,x < raiz[3]35approx 3,27), x < 5, 5 - x neq 1;(,xneq 4)
Combinando, temos efetivamente x < raiz[3]35, pois 4>raiz[3]35 já sai do intervalo.

Passo 3

Pela propriedade de logaritmos:
log2l(35 - x^3r)log2l(5 - xr) = 3 Longrightarrow log2l(35 - x^3r) = 3,log2l(5 - xr) =log2l((5 - x)^3r)
Desde que os argumentos sejam positivos, podemos igualar:
35 - x^3 = (5 - x)^3

Passo 4

Expandindo o cubo do lado direito:
(5 - x)^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3
Logo a equação fica
35 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3
Cancelando -x^3 dos dois lados:
35 = 125 - 75x + 15x^2
Reorganizando:
15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0 Longrightarrow 15x^2 - 75x + 90 = 0
Dividindo tudo por 15:
x^2 - 5x + 6 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 - 5x + 6 = 0 Longrightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 Longrightarrow x = 2ou x = 3

Passo 6

Verificamos no domínio: para x=2 e x=3 temos
35 - x^3 > 0, 5 - x > 0, log2(5 - x)neq 0,
ou seja, ambos são válidos.

Resposta

x = 2 ou x = 3.

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