Resolva as equações:
6 x^2=62 x-1+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
6x^2 ;=;6,2x-1 ;+;x,
onde ,y é a parte fracionária de y. Vamos usar a definição
,y = y - lfloor yrfloor,
e procurar todas as soluções reais.

Passo 2

Defina y=2x-1 e seja n=lfloor yrfloorinZ. Então
,2x-1 = y - n = (2x-1)-n
e a equação fica
6x^2 = 6l((2x-1)-nr)+x = 12x-6-6n + x = 13x - 6 - 6n

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão,
6x^2 - 13x + (6 + 6n) = 0
O discriminante é
De<a = (-13)^2 - 4cdot6cdot(6+6n) =169 -24(6+6n) =169 -144 -144n =25 -144n
Logo as raízes são
x = 13 pm raiz25 - 144n12,
valendo apenas quando De<a>=0, ou seja 25-144n>=0.

Passo 4

Da condição De<a>=0 obtemos
25 - 144n >= 0 Longrightarrow n <= 25144approx0,17 Longrightarrow n<=0(ninZ)
Vamos testar n=0,-1,-2,-3,dots até que não haja mais soluções compatíveis.

Passo 5

Para cada n<=0 calculamos as duas raízes e exigimos ainda
n <= 2x-1 < n+1
  • n=0: De<a=25, raízes x=tfrac13pm512, isto é x=3/2 e x=2/3.
    Checando 2x-1in[0,1) x=2/3 satisfaz ( 2cdottfrac23-1=1/3in[0,1)).
  • n=-1: De<a=169, raízes x=tfrac13pm1312, isto é x=0 e x=tfrac136.
    x=0 satisfaz ( 2cdot0-1=-1in[-1,0)).
  • n=-2: De<a=25+288=313, raiz relevante x = 13-raiz31312, pois a outra não satisfaz 2x-1in[-2,-1).
  • n=-3: De<a=25+432=457, raiz relevante x = 13-raiz45712
  • Para n<=-4 a única candidata viola a condição n<=2x-1<n+1.

Resposta

As soluções reais são
x = 0, x = tfrac23, x = 13-raiz31312, x = 13-raiz45712

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