Resolva as equações abaixo supondo que -pi<x <= pi.
2 cos (x)-raiz5 sen(x)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
2cos(x)-raiz5,sin(x)=1
no intervalo -pi < x <= pi. O conteúdo principal é a técnica de reescrever uma combinação acos x + bsin x como Rcos(x+varphi), onde
R = raiza^2 + b^2
e varphi satisfaz
cosvarphi = aR, sinvarphi = bR

Passo 2

Identificamos a=2 e b=-raiz5. Calculamos
R = raiz2^2 + (,-raiz5,)^2 = raiz4+5 =3
Queremos varphi tal que
cosvarphi = 23, sinvarphi = -raiz53
No entanto, para usar a forma Rcos(x+varphi) de maneira direta, é mais conveniente tomar
cosvarphi = 23, sinvarphi = raiz53,
e depois usar
2cos x - raiz5,sin x =3cosl(x+varphir)
com varphi no primeiro quadrante, onde
varphi = arctan!l(tfracraiz52r)

Passo 3

A equação fica então
3cosl(x+varphir)=1 Longrightarrow cosl(x+varphir)=tfrac13
Chamando
alpha = arccos!l(tfrac13r),
a solução geral é
x+varphi = pm alpha + 2pi k, kinZ

Passo 4

Isolando x, obtemos
x = -varphi pm alpha + 2pi k
Substituímos varphi = arctan!l(tfracraiz52r) e alpha = arccos!l(tfrac13r).

Passo 5

Agora determinamos quais valores cabem em -pi < x <= pi. Para k=0 temos
x1 = -varphi + alpha, x2 = -varphi - alpha
Numericamente,
varphi approx 0,837,rad, alpha approx 1,231,rad,
de modo que
x1 approx -0,837 + 1,231 = 0,394;rad, x2 approx -0,837 - 1,231 = -2,068;rad
Ambos estão no intervalo pedido. Para k=pm1 sai fora de -pi,pi, e não há outras soluções.

Resposta

x = arccos!l(tfrac13r);-;arctan!l(tfracraiz52r), x = -,arccos!l(tfrac13r);-;arctan!l(tfracraiz52r)

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