Resolva as equações abaixo supondo que -pi<x <= pi.
4 sen(x)-3 cos (x)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
;4sin(x)-3cos(x)=4;
no intervalo -pi<x<=pi.
O conteúdo aqui é reescrever uma combinação linear de sin e cos na forma de um único seno com amplitude e fase.

Passo 2

Vamos escrever
4sin(x)-3cos(x) =Rl(tfrac4Rsin(x)-tfrac3Rcos(x)r)
com
R=raiz4^2+(-3)^2=raiz16+9=5
Definimos um ângulo varphi tal que
cosvarphi=tfrac45 e sinvarphi=tfrac35.
Isso garante
tfrac45sin(x)-tfrac35cos(x) =sin(x-varphi),
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4sin(x)-3cos(x)=5sin(x-varphi)

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
5sin(x-varphi)=4 Longrightarrow sin(x-varphi)=tfrac45

Passo 4

Para sintheta=tfrac45 a solução geral é
theta=arcsinl(tfrac45r)+2pi n ou theta=pi-arcsinl(tfrac45r)+2pi n
Como theta=x-varphi, segue
x=varphi+arcsinl(tfrac45r)+2pi n, x=varphi+pi-arcsinl(tfrac45r)+2pi n

Passo 5

Sabendo
varphi=arcsin(tfrac35)approx0,6435 e
arcsin(tfrac45)approx0,9273, tomamos n=0 para ficar em -pi<x<=pi:
x1=0,6435+0,9273=1,5708approxtfracpi2, x2=0,6435+pi-0,9273approx2,8578
Outros nneq0 dão valores fora do intervalo.

Resposta

x=tfracpi2 ou xapprox2,8578.

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