Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
2 sen(2 x) cos (x)-3 sen(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
2,sin(2x),cos(x)-3,sin(x)=0
no intervalo 0<= x<=pi2. Vamos usar identidade de ângulo duplo e fatoração para encontrar todas as soluções nesse intervalo.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo
sin(2x)=2,sin(x),cos(x)
Substituindo em 2,sin(2x),cos(x) temos
2,sin(2x),cos(x) =2l(2,sin(x)cos(x)r)cos(x) =4,sin(x),cos^2(x)
Assim a equação vira
4,sin(x),cos^2(x)-3,sin(x)=0

Passo 3

Fatorando sin(x) em evidência:
sin(x),l(4,cos^2(x)-3r)=0
Isso gera duas possibilidades:
1. sin(x)=0.
2. 4,cos^2(x)-3=0.

Passo 4

Analisando cada caso em 0<= x<=pi2:
1. sin(x)=0 Rightarrow x=0 (único ponto no intervalo com seno zero).
2. 4,cos^2(x)-3=0 Rightarrow cos^2(x)=tfrac34 Rightarrow cos(x)=pmraiz32.
No intervalo dado, cos(x)>=0, então cos(x)=tfracraiz32 Rightarrow x=pi6.

Resposta

x=0 x=pi6

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