Resolva as equações abaixo supondo que -pi<x <= pi.
raiz3 sen(x)-cos (x)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
raiz3,sin(x);-;cos(x);=;1
no intervalo -pi < x <= pi.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de escrever a combinação Asin x + Bcos x como uma única função do tipo Rsin(x+de<a) e, em seguida, resolver a equação resultante.

Passo 2

Identificamos
A = raiz3, B = -1
e calculamos
R = raizA^2 + B^2 =raiz(raiz3)^2 + (-1)^2 =raiz3+1 =2
Agora buscamos de<a tal que
Rsin(x+de<a) = Asin x + Bcos x = raiz3,sin x ;-;cos x
Usando a expansão
sin(x+de<a) =sin xcosde<a + cos xsinde<a,
comparamos coeficientes:
Rcosde<a = A = raiz3, Rsinde<a = B = -1
Portanto
cosde<a = raiz32, sinde<a = -12 ;Longrightarrow; de<a = -pi6
Logo
raiz3,sin x - cos x =2,sinl(x - tfracpi6r)

Passo 3

Substituindo na equação original:
2,sin!l(x - tfracpi6r)=1 Longrightarrow sin!l(x - tfracpi6r)=tfrac12

Passo 4

As soluções gerais de sintheta = tfrac12 são
theta = pi6 + 2pi k ou theta = 5pi6 + 2pi k
Aqui theta = x - tfracpi6. Assim:
1. x - tfracpi6 = tfracpi6 + 2pi k; Rightarrow;
x = tfracpi3 + 2pi k
2. x - tfracpi6 = tfrac5pi6 + 2pi k; Rightarrow;
x = pi + 2pi k

Passo 5

Precisamos das soluções em -pi < x <= pi.
  • Para x = tfracpi3 + 2pi k:
    • Se k=0, x = tfracpi3 (válido).
    • k=pm1 x fora do intervalo.
  • Para x = pi + 2pi k:
    • Se k=0, x = pi (válido, pois incluímos o extremo pi).
    • k=pm1 sai do intervalo.
Portanto as únicas soluções são
x = pi3 e x = pi

Resposta

x = dfracpi3 ou x = pi.

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