Resolva as equaçōes:
x^2+2x^2+5=1x^2-2+1114

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional em x:
x^2+2x^2+5 ;=; 1x^2-2 ;+;1114
O conteúdo aqui é manipulação de expressões racionais e resolução de equações de segundo grau após substituição. Vamos usar a substituição t = x^2 para simplificar.

Passo 2

Definimos t = x^2. Note que o domínio exige x^2+5neq0 (sempre satisfeito) e x^2-2neq0, ou seja tneq2. Reescrevendo em termos de t, a equação vira
t+2t+5 ;=; 1t-2 ;+;1114

Passo 3

Vamos colocar o lado direito sobre um denominador comum 14(t-2):
1t-2 = 1414(t-2), 1114 = 11(t-2)14(t-2),
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1t-2 + 1114 = 14 + 11(t-2)14(t-2) = 11t - 814(t-2)
A equação fica
t+2t+5 = 11t - 814(t-2)

Passo 4

Fazemos a “cruz” (multiplicação em cruz) para eliminar denominadores:
14,(t+2),(t-2) = (11t - 8),(t+5)
Expandindo,
14(t^2-4) = 11t^2 +47t -40 ;Longrightarrow; 14t^2 -56 = 11t^2 +47t -40
Rearranjando,
14t^2 -11t^2 -47t -56 +40 = 0 ;Longrightarrow; 3t^2 -47t -16 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática em t pela fórmula de Bhaskara:
t = 47 pm raiz47^2 + 4cdot3cdot162cdot3 = 47 pm raiz2209 + 1926 = 47 pm 496
Assim obtemos
t1 = 966 = 16, t2 = -26 = -tfrac13

Passo 6

Voltando a x, temos x^2 = t. O valor t2=-tfrac13 não gera x real, pois não há raiz real de número negativo. Já t1=16
x = pm 4
Verificamos que x^2=16neq2, logo não violamos o domínio.

Resposta

As soluções reais são
x = 4 e x = -4.

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