Resolva as equações:
log (2 x^2+4 x-4)+colog(x+1)=log 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver
logl(2x^2+4x-4r)+colog(x+1)=log 4
O conteúdo envolvido são as propriedades de logaritmos e a definição de colog. Também será preciso impor as condições de domínio para que todos os argumentos de logaritmo sejam positivos.

Passo 2

Pela definição,
colog(y)=logl(1/yr)=-log y
Substituindo y=x+1 na equação dada, obtemos
logl(2x^2+4x-4r)-log(x+1)=log 4

Passo 3

Usando a propriedade
log A - log B=log!l(tfracABr),
com A=2x^2+4x-4 e B=x+1, a equação vira
log!l(2x^2+4x-4,x+1,r)=log 4

Passo 4

Como a função log é injetora, igualamos os argumentos:
2x^2+4x-4x+1=4
Multiplicando por (x+1) e simplificando,
2x^2+4x-4=4x+4 Longrightarrow 2x^2-8=0 Longrightarrow x^2=4
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x=2 ou x=-2

Passo 5

Impondo o domínio:
  1. x+1>0implies x>-1
  2. 2x^2+4x-4>0. As raízes de 2x^2+4x-4=0 são x=-1pmraiz3, e o polinômio é positivo para
x<-1-raiz3 ou x>-1+raiz3
Combinando com x>-1, fica x>-1+raiz3approx0,732.
Das soluções x=2 e x=-2, somente x=2 satisfaz x>-1+raiz3.

Resposta

x=2

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