Resolva as equações a seguir, supondo que 0 <= x <= pi2.
2 sen^2(x2)+3 sen^2(x)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em [0,tfracpi2], a equação
2sin^2!l(tfracx2r)+3sin^2(x)=2
O conteúdo principal é usar a identidade de ângulo metade
sin^2!l(tfracx2r)=1-cos(x)2,
e também a relação sin^2(x)=1-cos^2(x), para reduzir tudo a uma equação em cos(x).

Passo 2

Substituindo sin^2!l(tfracx2r)=tfrac1-cos(x)2 na equação dada, temos
2cdot1-cos(x)2+3sin^2(x)=2 Longrightarrow 1-cos(x)+3sin^2(x)=2
Assim
-cos(x)+3sin^2(x)=1

Passo 3

Agora usamos sin^2(x)=1-cos^2(x). Substituindo na expressão acima:
-cos(x)+3l(1-cos^2(x)r)=1 Longrightarrow -,cos(x)+3-3cos^2(x)=1
Reorganizando:
-3cos^2(x)-cos(x)+2=0 Longrightarrow 3cos^2(x)+cos(x)-2=0

Passo 4

Seja u=cos(x). A equação em u é
3u^2+u-2=0
O discriminante é De<a=1^2-4cdot3cdot(-2)=1+24=25, logo as raízes são
u=-1pm56 ;Longrightarrow; u1=46=23, ; u2=-66=-1

Passo 5

Como xin[0,tfracpi2], temos cos(x)in[0,1]. Daí u2=-1 não vale, e sobra
cos(x)=23

Passo 6

Portanto a solução no intervalo pedido é
x=arccos!l(tfrac23r)

Resposta

x=arccos!l(tfrac23r)

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