Resolva as inequações.
xx+1-1x-3 >= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
xx+1 ;-;1x-3;>=;2
O conteúdo envolve soma e subtração de frações, redução a uma única fração e, em seguida, estudo de sinais para determinar onde essa fração é não negativa.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio, proibindo zeros nos denominadores:
x+1 neq 0Longrightarrow xneq -1,
x-3 neq 0Longrightarrow xneq 3

Passo 3

Passamos tudo para o primeiro membro e juntamos numa única fração:
xx+1 - 1x-3 - 2 = x(x-3) - (x+1) - 2,(x+1)(x-3)(x+1)(x-3)
No numerador calculamos
x(x-3)=x^2-3x, -(x+1)=-x-1,
-2(x+1)(x-3)=-2l(x^2-2x-3r)=-2x^2+4x+6,
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x^2-3x -x -1 -2x^2+4x+6 = -x^2+5
A inequação original fica então
-x^2+5(x+1)(x-3) ;>=;0
ou, equivalentemente,
x^2-5(x+1)(x-3) ;<=;0

Passo 4

Os pontos que anulam numerador ou denominador são
x^2-5=0Longrightarrow x=pmraiz5,
(x+1)(x-3)=0Longrightarrow x=-1,;x=3
Esses valores dividem a reta em cinco intervalos a examinar.

Passo 5

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo para o quociente x^2-5(x+1)(x-3):
em (-infty,-raiz5): x^2-5>0, (x+1)(x-3)>0 Rightarrow quociente positivo
em (-raiz5,-1): x^2-5<0, (x+1)(x-3)>0 Rightarrow quociente negativo
em (-1,raiz5): x^2-5<0, (x+1)(x-3)<0 Rightarrow quociente positivo
em (raiz5,3): x^2-5>0, (x+1)(x-3)<0 Rightarrow quociente negativo
em (3,infty): x^2-5>0, (x+1)(x-3)>0 Rightarrow quociente positivo
Queremos onde esse quociente é <=0, ou seja, negativo ou zero.

Passo 6

Incluímos também as raízes do numerador ( x=pmraiz5), pois aí a fração vale zero. Excluímos x=-1 e x=3 por não pertencerem ao domínio. Assim a solução é
[-raiz5,,-1);cup;[raiz5,,3)

Resposta

[-raiz5,-1)cup[raiz5,3)

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