Resolva as inequações.
x-32 x+6 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-32x+6 <= 0
O conteúdo envolve inequações do tipo “quociente menor ou igual a zero”. Para resolver vamos:
  1. determinar o domínio da expressão;
  2. encontrar pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador);
  3. fazer análise de sinal em cada intervalo;
  4. montar a solução da inequação.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o denominador não seja zero:
2x + 6 neq 0 Longrightarrow x neq -3

Passo 3

Encontramos os zeros do numerador:
x - 3 = 0 Longrightarrow x = 3
Os pontos críticos são, então, x=-3 (onde não existe valor) e x=3 (onde a fração vale zero).

Passo 4

Analisamos o sinal de numerador e denominador em cada intervalo determinado por -3 e 3:
Para x < -3:
  • numerador x-3<0;
  • denominador 2x+6<0;
  • quociente x-32x+6>0.
Para -3 < x < 3:
  • numerador x-3<0;
  • denominador 2x+6>0;
  • quociente x-32x+6<0.
Para x > 3:
  • numerador x-3>0;
  • denominador 2x+6>0;
  • quociente x-32x+6>0.

Passo 5

Queremos x-32x+6<=0, ou seja, fração negativa ou zero. Isso ocorre apenas em
-3 < x < 3 (onde é negativa)
e também em x=3 (onde vale zero). Lembrando que xneq-3.

Resposta

(-3,,3]

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