Resolva as inequações.
5 xx-4 >= 10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
5xx-4 >= 10
Conteúdo: inequações racionais. Vamos primeiro identificar o domínio ( xneq4) e em seguida passar tudo para um único quociente.

Passo 2

Subtraímos 10 de ambos os lados e colocamos em um só quociente:
5xx-4 - 10 >= 0 Longrightarrow 5x - 10(x-4)x-4 >= 0
No numerador:
5x - 10(x-4) = 5x - 10x + 40 = -5x + 40

Passo 3

Colocamos em forma fatorada e simplificamos o sinal constante:
-5x + 40x-4 >= 0 Longrightarrow -5,(x-8)x-4 >= 0 Longrightarrow x-8x-4 <= 0
(ao multiplicar por -1, invertemos o sinal da desigualdade e o fator 5>0 não altera o sinal).

Passo 4

Identificamos os pontos críticos:
;x=8 anula o numerador,
;x=4 anula o denominador (não está no domínio).
Analisando sinais em cada intervalo:
  • Para x<4: x-8<0, x-4<0 Rightarrow quociente >0.
  • Para 4<x<8: x-8<0, x-4>0 Rightarrow quociente <0.
  • Para x>8: x-8>0, x-4>0 Rightarrow quociente >0.

Passo 5

Queremos x-8x-4<=0, ou seja, quociente negativo ou zero. Isso ocorre em
4 < x <= 8,
lembrando que x=4 é excluído e x=8 vale zero.

Resposta

(4,8]

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