Resolva as inequações.
raiz8-4 x^2+x <= 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
raiz8 - 4x^2 + x <= 3
O conteúdo principal aqui é lidar com inequações que envolvem radical, o que exige:
  1. Determinar o domínio em que o radical está definido.
  2. Garantir que possamos elevar os dois lados ao quadrado sem inverter o sinal (isto é, que o lado direito seja não negativo).
  3. Quadrar ambos os lados e resolver a inequação resultante em x.
  4. Interseccionar com o domínio original do radical.

Passo 2

Primeiro, o domínio do radical raiz8 - 4x^2 exige
8 - 4x^2 >= 0 Longrightarrow x^2 <= 2 Longrightarrow -,raiz2 <= x <= raiz2
Além disso, como vamos comparar raiz8-4x^2 com 3 - x, e raiz8-4x^2>=0, precisamos ter
3 - x >= 0 Longrightarrow x <= 3
No nosso caso, como raiz2<3, todo x em [-,raiz2,raiz2] já satisfaz x<=3. Logo podemos quadrar.

Passo 3

Elevando os dois lados ao quadrado em [-,raiz2,raiz2], obtemos
l(raiz8 - 4x^2r)^2 <= (3 - x)^2 Longrightarrow 8 - 4x^2 <= 9 - 6x + x^2
Reorganizando os termos:
8 - 4x^2 - 9 + 6x - x^2 <= 0 Longrightarrow -5x^2 + 6x - 1 <= 0 Longrightarrow 5x^2 - 6x + 1 >= 0

Passo 4

A inequação quadrática
5x^2 - 6x + 1 >= 0
tem raízes dadas por
x = 6 pm raiz36 - 2010 = 6 pm 410,
isto é, x = tfrac15 e x = 1. Como o coeficiente de x^2 é positivo (abre para cima), a condição 5x^2-6x+1>=0 vale para
x <= tfrac15 ou x >= 1

Passo 5

Agora intersectamos essa solução com o domínio -,raiz2<= x<=raiz2. Como tfrac15approx0,2 e 1<raiz2, a solução final da inequação original é
-,raiz2;<=;x;<=;tfrac15 cup 1;<=;x;<=;raiz2

Resposta

xin[-raiz2,,tfrac15];cup;[1,,raiz2]

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