Resolva as inequações.
3 x-41-6 x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3x - 41 - 6x <= 2
O conteúdo é análise de inequações envolvendo frações. Vamos precisar identificar domínio, passar tudo para um único lado, obter um único quociente e estudar o sinal de numerador e denominador.

Passo 2

Trazendo o 2 para o lado esquerdo, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
3x - 41 - 6x - 2 <= 0
Colocando numa única fração, com denominador 1 - 6x:
3x - 4 - 2(1 - 6x)1 - 6x <= 0

Passo 3

Simplificamos o numerador:
3x - 4 - 2 +12x =15x - 6 =3(5x - 2)
A inequação fica
3(5x - 2)1 - 6x <= 0

Passo 4

Identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador são zero:
5x - 2 = 0 Longrightarrow x = tfrac25,
1 - 6x = 0 Longrightarrow x = tfrac16
Note que em x = tfrac16 a expressão é indefinida (denominador zero), e em x = tfrac25 o quociente vale zero (numerador zero, denominador neq0).

Passo 5

Fazemos o estudo de sinal em cada intervalo, lembrando que queremos <=0:
  • Para x<tfrac16: numerador 3(5x-2)<0, denominador 1-6x>0, quociente <0. Satisfaz.
  • Em x=tfrac16: excluído (denominador zero).
  • Para tfrac16<x<tfrac25: numerador <0, denominador <0, quociente >0. Não satisfaz.
  • Em x=tfrac25: numerador zero, quociente =0. Satisfaz (igualdade).
  • Para x>tfrac25: numerador >0, denominador <0, quociente <0. Satisfaz.

Resposta

boxedxin l(-infty,tfrac16r);cup;l[tfrac25,+inftyr)

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