Resolva as inequações.
e^x+5 e^x-2 <= e^x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo exponenciais
e^x+5,e^x-2<= e^x^2
Vamos usar as propriedades de potências e a monotonicidade da função e^t.

Passo 2

Primeiro simplificamos o produto de exponenciais no lado esquerdo usando
e^x+5,e^x-2 = e^(x+5)+(x-2) = e^2x+3
A inequação fica
e^2x+3<= e^x^2

Passo 3

Como a função tmapsto e^t é estritamente crescente em R, temos
e^2x+3<= e^x^2 Long<=ftrightarrow 2x+3 <= x^2

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade em forma padrão, obtemos
x^2 - 2x - 3 >= 0
Para resolver, calculamos o discriminante da quadrática x^2-2x-3.

Passo 5

O discriminante é
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot(-3) = 4 + 12 = 16,
de modo que as raízes são
x = 2pmraiz162 = 2pm42,
ou seja x=-1 e x=3. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e satisfaz x^2-2x-3>=0 para
xin(-infty,-1]cup[3,infty)

Resposta

(-infty,,-1];cup;[3,infty)

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