Resolva as inequações.
-2 <= log 1 / 3(x-2) <=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a dupla desigualdade envolvendo logaritmo de base 1/3:
-2 <= log1/3(x-2) <= -1
Esse é um problema de inequações logarítmicas com base b tal que 0<b<1, então a função logb é decrescente. Vamos usar isso para converter cada parte em forma exponencial.

Passo 2

Antes de tudo, garantimos o domínio do logaritmo:
x-2>0 Longrightarrow x>2

Passo 3

Separamos a desigualdade em duas partes:
  1. -2 <= log1/3(x-2).
  2. log1/3(x-2) <= -1.

Passo 4

Como log1/3(u) é decrescente, ao converter
log1/3(x-2)>= -2
para forma exponencial, invertemos o sinal:
x-2 <= (1/3)^-2
E para
log1/3(x-2)<= -1
temos
x-2 >= (1/3)^-1

Passo 5

Calculamos as potências:
(1/3)^-2=9, (1/3)^-1=3
Logo as duas condições ficam
x-2 <= 9 Longrightarrow x <= 11,
x-2 >= 3 Longrightarrow x >= 5

Passo 6

Juntando com o domínio x>2, o mais restritivo é
5 <= x <= 11

Resposta

x in [5,,11]

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