Resolva as inequações.
12 <= log 9(2 x+1) <= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
12 <= log9(2x+1)<= 2
que é uma inequação logarítmica com base 9>1. Para isso vamos precisar:
– Determinar o domínio de 2x+1 para que o logaritmo faça sentido.
– Usar que, para base maior que 1, a função log9(y) é crescente, de modo que podemos aplicar a exponenciação em base 9 sem inverter desigualdades.

Passo 2

Impondo o domínio do logaritmo, precisamos ter
2x+1>0,
ou seja
x>-12

Passo 3

Como a função log9(y) é crescente (base 9>1), podemos elevar 9 em cada parte da desigualdade original sem mudar os sinais:
9^tfrac12;<=;2x+1;<=;9^2

Passo 4

Calculemos as potências de 9:
9^tfrac12=3, 9^2=81
Então
3<= 2x+1<= 81
Subtraindo 1 e dividindo por 2 em toda a cadeia:
3-1 <= 2x <= 81-1 Longrightarrow 2<= 2x<= 80 Longrightarrow 1<= x<= 40
Verificamos que [1,40] está contido em l(-tfrac12,inftyr), então satisfaz o domínio.

Resposta

boxed[1,,40]

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