Resolva as inequações.
log 1 / 8(x2)+log 1 / 8(2 x-6) >= log 1 / 8(3 x-5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
log1/8!l(tfracx2r)+log1/8!(2x-6)>=log1/8!(3x-5)
O conteúdo envolve inequações com logaritmo de base a em (0,1), cuja função é decrescente. Vamos precisar:
  1. determinar o domínio para que todos os argumentos dos logaritmos sejam positivos;
  2. usar a propriedade loga u+loga v=loga(uv);
  3. aplicar a característica de decrescimento do logaritmo para trocar o sentido da desigualdade ao passar do log para o argumento;
  4. resolver a inequação resultante em termos de x e intersectar com o domínio.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo
tfracx2>0,2x-6>0,3x-5>0
Isso dá
x>0, x>3, x>tfrac53,
logo o domínio é
x>3

Passo 3

Usamos a soma de logaritmos para escrever
log1/8!l(tfracx2r)+log1/8!(2x-6) =log1/8!l(tfracx2(2x-6)r)
A inequação vira
log1/8!l(tfracx2(2x-6)r)>=log1/8!(3x-5)

Passo 4

Como a base 1/8 pertence a (0,1), o logaritmo é decrescente. Então
log1/8(U)>=log1/8(V) Long<=ftrightarrow U<= V
Aplicando aqui, obtemos
tfracx2(2x-6);<=;3x-5

Passo 5

Simplificamos a inequação em x:
tfracx2(2x-6)=x(x-3)
portanto
x(x-3)<=3x-5 ;Longrightarrow; x^2-3x-3x+5<=0 ;Longrightarrow; x^2-6x+5<=0

Passo 6

Fatorando,
x^2-6x+5=(x-1)(x-5),
logo
(x-1)(x-5)<=0
é satisfeito para
1<= x<=5
Mas devemos intersectar com o domínio x>3, o que deixa
3< x<=5

Resposta

xin(3,5].

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