Resolva as inequações.
3 x-1x+4+xx-5 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3x - 1x + 4 ;+;xx - 5 ;<=; 0
O conteúdo usado será manipulação de frações (colocar num único denominador), determinação das raízes do numerador e análise de sinais em intervalos, levando em conta as raízes do numerador e as singularidades do denominador.

Passo 2

Identificamos o domínio da expressão: as frações existem para x neq -4 e x neq 5. Portanto, essas duas abscissas serão excluídas da solução.

Passo 3

Colocamos as duas parcelas sobre o mesmo denominador:
3x - 1x + 4 + xx - 5 = (3x - 1)(x - 5) + x(x + 4)(x + 4)(x - 5)
No numerador:
(3x - 1)(x - 5) = 3x^2 -16x +5, x(x+4)=x^2+4x,
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numerador = 3x^2 -16x +5 + x^2 +4x = 4x^2 -12x +5
A inequação vira
4x^2 -12x +5(x + 4)(x - 5) ;<=; 0

Passo 4

Determinamos as raízes do numerador 4x^2 -12x +5. O discriminante é
De<a = (-12)^2 - 4cdot4cdot5 = 144 - 80 = 64,
portanto as raízes são
x = 12 pm raiz642cdot4 = 12 pm 88,
isto é,
x1 = 12+88 = 208 = 2,5, x2 = 12-88 = 48 = 0,5

Passo 5

Fazemos o estudo de sinais em cada intervalo determinado pelas abscissas -4, 0,5, 2,5 e 5.
Numerador 4x^2-12x+5: é uma parábola que abre para cima, negativa entre 0,5 e 2,5 e positiva fora desse intervalo.
Denominador (x+4)(x-5): muda de sinal em -4 e em 5, sendo positivo em (-infty,-4), negativo em (-4,5), e positivo em (5,infty).
Montando o quadro:
Intervalo (-infty,-4) (-4,0,5) (0,5,2,5) (2,5,5) (5,infty)
sinal do numerador + + - + +
sinal do denom. + - - - +
quociente + - + - +
Queremos <= 0, ou seja, os trechos em que o quociente é negativo ou zero. Isso ocorre em:
(-4,,0,5)e(2,5,,5),
mais os pontos em que o numerador é zero ( x=0,5 e x=2,5), desde que não estejam proibidos pelo domínio.

Resposta

(-4,,0,5];cup;[2,5,,5)

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