Resolva as inequações.
x^2-3 x+2x^2+x >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-3x+2x^2+x>= 0
Este é um problema de análise de sinais de uma função racional. Vamos precisar encontrar as raízes do numerador e do denominador, marcar os pontos críticos na reta real, testar o sinal em cada intervalo e depois montar a solução considerando onde a expressão é não negativa.

Passo 2

Determinar as raízes do numerador e do denominador:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2),
logo as raízes do numerador são ;x=1 e ;x=2, onde a fração fica zero (desde que o denominador não seja zero).
x^2+x = x(x+1),
logo as raízes do denominador são ;x=0 e ;x=-1, onde a fração é indefinida.

Passo 3

Os pontos críticos são -1, 0, 1, 2. Eles dividem a reta real em cinco intervalos:
(-infty,-1),;(-1,0),;(0,1),;(1,2),;(2,infty)

Passo 4

Escolhemos um valor em cada intervalo e avaliamos o sinal de cada fator:
  • Em (-infty,-1), por exemplo x=-2: x^2-3x+2>0, x^2+x>0;longrightarrow;dotsdots>0
  • Em (-1,0), por exemplo x=-tfrac12: x^2-3x+2>0, x^2+x<0;longrightarrow;dotsdots<0
  • Em (0,1), por exemplo x=tfrac12: x^2-3x+2>0, x^2+x>0;longrightarrow;dotsdots>0
  • Em (1,2), por exemplo x=tfrac32: x^2-3x+2<0, x^2+x>0;longrightarrow;dotsdots<0
  • Em (2,infty), por exemplo x=3: x^2-3x+2>0, x^2+x>0;longrightarrow;dotsdots>0

Passo 5

Agora coletamos os intervalos onde a função é não negativa (positiva ou zero). Lembrando que zeros do numerador ( x=1,2) podem ser incluídos e zeros do denominador ( x=-1,0) devem ser excluídos. Assim a solução é
(-infty,-1);cup;(0,1];cup;[2,infty)

Resposta

(-infty,-1);cup;(0,1];cup;[2,infty)

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