Resolva as inequações.
2[log 4(x)]^2 >= 3 log 4(x)+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo logaritmo de base 4:
2l[log4(x)r]^2>= 3,log4(x)+2
Conteúdo: resolução de inequação quadrática em variável transformada por t=log4(x), com atenção ao domínio do logaritmo.

Passo 2

Determinamos o domínio da expressão: como aparece log4(x), é necessário que
x>0

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t=log4(x)
A inequação fica
2t^2;-;3t;-;2;>=;0

Passo 4

Resolvemos a inequação quadrática em t. Primeiro achamos as raízes da equação associada:
2t^2-3t-2=0
O discriminante é
De<a = (-3)^2-4cdot2cdot(-2)=9+16=25,
portanto as raízes são
t = 3pm54 implies t1 =2, t2 = -tfrac12
Como o coeficiente de t^2 é positivo, a parábola abre para cima e
2t^2-3t-2>=0
quando
t<= -tfrac12ou t>=2

Passo 5

Voltando a x usando t=log4(x):
  1. Se log4(x)<= -tfrac12, então
x <= 4^-1/2 = tfrac12
  1. Se log4(x)>=2, então
x >= 4^2 = 16
Levando em conta x>0, a solução é
0 < x <= tfrac12 ou x >= 16

Resposta

(0,tfrac12];cup;[16,infty)

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