Resolva as inequações.
[log 2(x)]^2+6 >= 5 log 2(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
l[log2(x)r]^2 + 6 >= 5,log2(x),
que envolve uma expressão quadrática em log2(x). Vamos usar a mudança de variável t = log2(x) e depois voltar para x.

Passo 2

Como log2(x) só faz sentido para x>0, temos domínio x>0 e, por consequência, tinR. Substituindo t=log2(x) na inequação,
t^2 + 6 >= 5t
ou seja
t^2 - 5t + 6 >= 0

Passo 3

Para resolver
t^2 - 5t + 6 >= 0,
calculamos as raízes da equação associada t^2-5t+6=0.
As raízes são
t = 2 e t = 3
Como o coeficiente de t^2 é positivo, o gráfico da função f(t)=t^2-5t+6 é uma parábola voltada para cima. Portanto,
t^2 - 5t + 6 >= 0 Long<=ftrightarrow t <= 2 ;;ou;; t >= 3

Passo 4

Voltando para x via t=log2(x):
  • Se t <= 2, então log2(x) <= 2, logo x <= 2^2 = 4. Juntando com x>0, obtemos 0 < x <= 4.
  • Se t >= 3, então log2(x) >= 3, logo x >= 2^3 = 8.

Resposta

A solução da inequação é
x in (0,4] ;cup; [8,infty)

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