Resolva as inequaçōes
(x-3)^5(x+2)^11(x^2-3)(x^2-4 x-12)^7 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-3)^5(x+2)^11(x^2-3)(x^2-4x-12)^7<=0
O conteúdo envolve análise de sinal de função racional: vamos fatorar, achar domínio, pontos críticos e montar a tabela de sinais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-4x-12=(x-6)(x+2),
cujo zeros são x=6 e x=-2, que não pertencem ao domínio. Como no numerador há (x+2)^11, podemos cancelar sete desses fatores com o denominador, ficando
(x-3)^5(x+2)^4(x^2-3)(x-6)^7,
mas mantemos as restrições xneq-2 e xneq6.

Passo 3

Após o cancelamento, os zeros do numerador são
,x=3 (multiplicidade 5), ,x=-2 (multiplicidade 4, mas excluído do domínio) e ,x=pmraiz3 (multiplicidade 1).
As singularidades (zeros do denominador) são x=-2 e x=6.
Portanto os pontos críticos ordenados são
-,infty,,-2,,-raiz3,,raiz3,,3,,6,,infty

Passo 4

Na análise de sinal, fatores com expoente par não alteram o sinal, logo (x+2)^4>0 para todo xneq-2. Os fatores ímpares são (x-3)^5, (x^2-3) e (x-6)^7. Assim o sinal da expressão é igual ao sinal de
(x-3),(x^2-3)(x-6)

Passo 5

Determinamos o sinal em cada intervalo, escolhendo um valor-teste:
Para x<-2 (por exemplo x=-3) temos (x-3)<0, (x^2-3)>0 e (x-6)<0, logo o quociente é positivo. Para -2<x<-raiz3 (por exemplo x=-1,9) as mesmas desigualdades se mantêm, resultando em sinal positivo. Em -raiz3<x<raiz3 (por exemplo x=0) vemos (x-3)<0, (x^2-3)<0 e (x-6)<0, tornando o sinal negativo. Para raiz3<x<3 (por exemplo x=2) a expressão volta a ser positiva. Entre 3 e 6 (por exemplo x=4) obtemos sinal negativo. Finalmente, para x>6 (por exemplo x=7) todos os fatores são positivos e o quociente é positivo.

Passo 6

Queremos onde a expressão é negativa ou zero. Ela é negativa em
-raiz3<x<raiz3 e em 3<x<6,
e se anula em x=-raiz3, x=raiz3 e x=3. Como x=-2 e x=6 são excluídos, a solução final é
[-raiz3,raiz3];cup;[3,6)

Resposta

xin[-raiz3,raiz3]cup[3,6)

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