Resolva as inequações.
log 1 / 2(x)-1 >= log 1 / 2(x+3)+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
log1/2(x) - 1 >= log1/2(x+3) + 2
Trata-se de uma inequação logarítmica com base a=tfrac12<1, portanto a função log1/2(t) é estritamente decrescente. Para resolver, vamos:
  1. Determinar o domínio: x>0 e x+3>0.
  2. Usar propriedades de logaritmos para agrupar os termos.
  3. Aplicar a monotonicidade (sinal inverte) ao eliminar o logaritmo.

Passo 2

No lado esquerdo temos log1/2(x)-1 e no direito log1/2(x+3)+2. Vamos levar os termos constantes para o mesmo lado:
log1/2(x) - log1/2(x+3) >= 1 + 2 = 3
Agora usamos a propriedade loga(u) - loga(v) = logal(tfracuvr). Assim,
log1/2!l(xx+3r) >= 3

Passo 3

Como a base tfrac12 é menor que 1, a função log1/2(t) é decrescente. Logo, de
log1/2!l(xx+3r) >= 3
segue
xx+3 <= l(tfrac12r)^3 = tfrac18

Passo 4

Resolvemos a inequação racional para x>0:
xx+3 <= 18
Como x+3>0, multiplicamos sem inverter o sinal:
8x <= x + 3 Longrightarrow 7x <= 3 Longrightarrow x <= 37
Combinando com o domínio x>0, obtemos
0 < x <= 37

Resposta

xinl(0,tfrac37r]

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