Resolva as inequações.
5^10-3 x <= 15^x+12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
5^10-3x <= 15^x+12
O conteúdo aqui é inequação com potências de base variável. Para resolver, vamos reescrever os dois lados usando potências de bases conhecidas (5 e 3) e depois aplicar logaritmo.

Passo 2

Reescrevendo 15^x+12 em função de 3 e 5:
15^x+12 = (3cdot5)^x+12 = 3^,x+12,5^,x+12
Então a inequação vira
5^10-3x <= 3^,x+12,5^,x+12
Dividindo ambos os lados por 5^,x+12 (que é sempre positivo) obtemos
5^10-3x-(x+12) <= 3^,x+12,
isto é
5^-4x-2 <= 3^,x+12

Passo 3

Como as funções envolvidas são crescentes (bases maiores que 1), podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados sem inverter o sinal:
(-4x - 2),ln5 ;<=;(x + 12),ln3

Passo 4

Agora isolamos os termos em x. Primeiro expandindo e agrupando:
-4x,ln5 ;-;2,ln5 ;<=; x,ln3 ;+;12,ln3 Longrightarrow xl(-4ln5-ln3r);<=;12ln3+2ln5
Observamos que -4ln5-ln3<0, logo, ao dividir por esse coeficiente negativo, o sentido da desigualdade inverte:
x ;>=; -12ln3+2ln54ln5+ln3

Resposta

boxedx >= -12ln3+2ln54ln5+ln3

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