Resolva as inequações.
log 3(4 x+7) >= 4 log 9(x+4)-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo logaritmos de bases diferentes:
log3(4x+7)>= 4log9(x+4)-1
O conteúdo é resolução de inequações logarítmicas, e vamos precisar de domínio, mudança de base e propriedades de logaritmos.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que os argumentos dos logaritmos sejam positivos:
4x+7>0implies x>-tfrac74,
x+4>0implies x>-4
Logo o domínio é
x>-tfrac74

Passo 3

Usamos mudança de base para escrever o termo em log9 em base 3:
4log9(x+4) =4cdotlog3(x+4)log3(9) =4cdotlog3(x+4)2 =2log3(x+4)

Passo 4

Substituindo na inequação e reunindo os termos em logaritmos de mesma base:
log3(4x+7)>= 2log3(x+4)-1 Longrightarrow log3(4x+7)-2log3(x+4)>= -1
Pela propriedade log A -log B=log(A/B),
log3!l(4x+7(x+4)^2r)>= -1

Passo 5

Escrevemos -1 como logaritmo:
-1=log3l(tfrac13r),
e, como log3 é crescente, a inequação vira
4x+7(x+4)^2>= tfrac13
Multiplicando por (x+4)^2>0 e por 3,
3(4x+7)>= (x+4)^2 Longrightarrow 12x+21>= x^2+8x+16

Passo 6

Reorganizando em forma de polinômio:
0>= x^2+8x+16-12x-21 Longrightarrow x^2-4x-5<= 0
O polinômio x^2-4x-5 tem raízes em x=-1 e x=5, e como é côncavo para cima, ele é não-positivo em
-1<= x<= 5

Passo 7

Finalmente intersectamos com o domínio x>-tfrac74. Como -1>-tfrac74, a solução final é
-1<= x<= 5

Resposta

[-1,,5]

Exercícios de Livros Relacionados