Resolva as inequações.
log 1 / 3(x^2-2) >= log 1 / 3(3 x)+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
log1/3l(x^2-2r);>=;log1/3(3x);+;1
O conteúdo principal aqui é inequações envolvendo logaritmo de base b<1, o que implica que a função f(t)=log1/3(t) é decrescente. Para resolver, vamos:
  1. Determinar o domínio (argumentos positivos).
  2. Reescrever o termo “ +1” como logaritmo.
  3. Usar a propriedade de monotonicidade invertendo o sinal da desigualdade.
  4. Resolver a inequação resultante em x.

Passo 2

Determinamos o domínio exigido pelos logaritmos:
x^2-2>0 Longrightarrow x^2>2 Longrightarrow x<-raiz2ou x>raiz2,
3x>0 Longrightarrow x>0
Para que ambos logaritmos existam, precisamos de
x>raiz2

Passo 3

Reescrevemos o “ +1” como um logaritmo de mesma base. Como
log1/3l(1/3r)=1 l(porque (1/3)^1=1/3r),
temos
log1/3(3x)+1 = log1/3(3x)+log1/3l(1/3r) = log1/3l(3xcdottfrac13r) = log1/3(x)
Logo a inequação fica
log1/3l(x^2-2r);>=;log1/3(x)

Passo 4

Como a função log1/3(t) é decrescente, a desigualdade se inverte quando “cancelamos” os logaritmos. Assim, para x>raiz2, temos equivalência com
x^2-2;<=;x

Passo 5

Resolvemos a inequação quadrática
x^2-x-2;<=;0
O polinômio x^2-x-2 fatoriza-se pelas raízes da equação x^2-x-2=0, que são
x=1pmraiz1+82=1pm32,
isto é, x=-1 e x=2. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola está abaixo de zero para
-1;<=;x;<=;2

Passo 6

Interseccionamos a solução da inequação quadrática com o domínio x>raiz2. Temos
-1<= x<=2 e x>raiz2 Longrightarrow raiz2<x<=2

Resposta

boxedxinl(raiz2,,2r]

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