Resolva as inequações.
[log 1 / 3(x)]^2-log 1 / 3(x) <= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
l[log1/3(x)r]^2 ;-;log1/3(x);<=;2
O conteúdo aqui envolve manipular uma inequação polinomial em termos de uma variável de substituição e depois voltar ao domínio de x>0, usando também a monotonicidade do logaritmo de base 1/3.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = log1/3(x),
de modo que a inequação passa a ser
t^2 - t <= 2

Passo 3

Reescrevemos a inequação em forma padrão:
t^2 - t - 2 <= 0
Para achar as raízes, resolvemos
t^2 - t - 2 = 0 Longrightarrow t = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
isto é, t = 2 ou t = -1.

Passo 4

Como o coeficiente de t^2 é positivo, a parábola abre para cima e a desigualdade t^2 - t - 2 <= 0 vale exatamente entre as raízes. Logo,
-1 ;<=; t ;<=; 2

Passo 5

Retornando a x, temos
log1/3(x) >= -1 e log1/3(x) <= 2

Passo 6

Como a função x mapsto log1/3(x) é decrescente (base 1/3<1), as desigualdades em x trocam de sinal quando “invertidas” pela exponenciação:
log1/3(x) >= -1 ;Longrightarrow; x <= (1/3)^-1 = 3,
log1/3(x) <= 2 ;Longrightarrow; x >= (1/3)^2 = tfrac19

Passo 7

Combinando essas duas condições e lembrando que o logaritmo exige x>0, obtemos
tfrac19 ;<=; x ;<=; 3

Resposta

x in l[tfrac19,,3r]

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