Resolva as inequações.
log (x-5) >= 1-log (x-2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
log(x-5) >= 1 ;-;log(x-2)
O conteúdo é uso das propriedades de logaritmo (domínio, soma e monotonicidade) e resolução de inequação polinomial.

Passo 2

Determinamos o domínio exigido pelos logaritmos: os argumentos devem ser positivos, ou seja
x-5>0 e x-2>0,
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x>5

Passo 3

Aplicamos a propriedade de mover -log(x-2) para o lado esquerdo e escrevemos 1 como log 10 (assumindo base 10):
log(x-5)+log(x-2)>= log 10

Passo 4

Pela propriedade da soma de logaritmos,
logl((x-5)(x-2)r)>= log 10
e, como a função log é crescente, isso equivale a
(x-5)(x-2)>= 10
Expandindo e simplificando:
x^2 -7x +10 >= 10 Longrightarrow x^2 -7x >= 0 Longrightarrow x(x-7)>= 0

Passo 5

A solução de x(x-7)>= 0 é
x<= 0 ou x>=7
Intersecando com o domínio x>5 sobra
x>= 7

Resposta

[7,infty)

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