Resolva as inequações.
[log 1 / 2(x)]^2 >= 2 log 1 / 2(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo logaritmo de base 1/2:
l[log1/2(x)r]^2 >= 2,log1/2(x),
sendo o domínio x>0. O conteúdo principal é tratar uma inequação quadrática em uma nova variável definida pela substituição t = log1/2(x).

Passo 2

Fazendo a substituição t = log1/2(x), a inequação vira
t^2 >= 2t
ou seja
t^2 - 2t >= 0
Fatorando, obtemos
t(t - 2) >= 0,
cuja solução é
t <= 0 ou t >= 2

Passo 3

Agora voltamos à variável x. Lembrando que para 0<b<1 a função logb(x) é decrescente:
  1. log1/2(x)<= 0 ocorre quando x>= 1, pois log1/2(1)=0 e, para x>1, log1/2(x)<0.
  2. log1/2(x)>= 2 ocorre quando x<= (1/2)^2=1/4, pois log1/2(1/4)=2 e, para 0<x<1/4, log1/2(x)>2.
Combinando e respeitando x>0, a solução em x é
0 < x <= tfrac14 cup x >= 1

Resposta

xinl(0,tfrac14r];cup;l[1,inftyr)

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