Resolva os seguintes sistemas:
lx^2+y^2-4 x-2 y-20 <= 0 x^2+y^2+6 x+10 y+18 <= 0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de duas desigualdades quadráticas em x e y:
x^2+y^2-4x-2y-20<=0, x^2+y^2+6x+10y+18<=0
O conteúdo é geometria analítica no plano: cada desigualdade representa um disco (ou círculo fechado). Para resolver, vamos completar quadrados para identificar centros e raios desses círculos.

Passo 2

Reescrevendo a primeira desigualdade e completando quadrados em x e em y:
x^2-4x + y^2-2y <= 20 ;Long<=ftrightarrow; (x-2)^2-4 + (y-1)^2-1 <= 20 ;Long<=ftrightarrow; (x-2)^2 + (y-1)^2 <= 25
Logo, a primeira região é o disco de centro (2,1) e raio 5.

Passo 3

Agora a segunda desigualdade:
x^2+6x + y^2+10y <= -18 ;Long<=ftrightarrow; (x+3)^2-9 + (y+5)^2-25 <= -18 ;Long<=ftrightarrow; (x+3)^2 + (y+5)^2 <= 16
Essa é o disco de centro (-3,-5) e raio 4.

Passo 4

Para entender a interseção, calculemos a distância d entre os centros (2,1) e (-3,-5):
d = raiz(2-(-3))^2 + (1-(-5))^2 = raiz5^2 + 6^2 = raiz61approx7,81
Como raiz61<5+4=9, os dois discos se sobrepõem, formando uma região tipo lente.

Passo 5

Portanto, a solução do sistema é exatamente o conjunto dos pontos que estão simultaneamente dentro (ou sobre) os dois discos.

Resposta

(x,y)inR^2mid (x-2)^2+(y-1)^2<=25,;(x+3)^2+(y+5)^2<=16

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