Resolva os seguintes sistemas:
lx^2+y^2-4 x+6 y+9 <= 0 x^2+y^2-6 x+6 y+14 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de inequações
x^2+y^2-4x+6y+9 <= 0, x^2+y^2-6x+6y+14 >= 0
O conteúdo é geometria analítica no plano: cada inequação descreve uma região ligada a um círculo. Vamos completar quadrados para entender essas regiões.

Passo 2

Para a primeira inequação
x^2+y^2-4x+6y+9 <= 0
completemos quadrados em x e em y:
x^2-4x = (x-2)^2-4, y^2+6y = (y+3)^2-9
Logo a expressão vira
(x-2)^2-4 + (y+3)^2-9 +9 <= 0 ;Longrightarrow; (x-2)^2 + (y+3)^2 <= 4
Isto é o disco de raio 2 centrado em (2,-3).

Passo 3

Para a segunda inequação
x^2+y^2-6x+6y+14 >= 0
fazemos o mesmo:
x^2-6x = (x-3)^2-9, y^2+6y = (y+3)^2-9,
de modo que
(x-3)^2-9 + (y+3)^2-9 +14 >= 0 ;Longrightarrow; (x-3)^2 + (y+3)^2 >= 4
Isto é o complemento do interior (mais a fronteira) do disco de raio 2 centrado em (3,-3).

Passo 4

Geometricamente, temos
  • Região I: (x,y)mid (x-2)^2+(y+3)^2<=4, um disco de raio 2 em C1=(2,-3).
  • Região II: (x,y)mid (x-3)^2+(y+3)^2>=4, o exterior (com a fronteira) do disco de raio 2 em C2=(3,-3).
    O sistema pede a interseção dessas duas regiões, ou seja, pontos que estão dentro do disco em C1 e ao mesmo tempo fora (ou na borda) do disco em C2.

Passo 5

Portanto a solução é exatamente
(x,y)mid (x-2)^2+(y+3)^2<=4 e (x-3)^2+(y+3)^2>=4

Resposta

boxed (x,y)inR^2mid (x-2)^2+(y+3)^2<=4,; (x-3)^2+(y+3)^2>=4

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