Um resultado bastante útil em matemática é que toda função racional (quociente de funções polinomiais reais) pode ser escrita como soma de funções mais simples. Por exemplo, a função r(x)=x+1x(x-1)^2 pode ser escrita na forma Ax+Bx-1+C(x-1)^2.
Aplicando os conhecimentos sobre operações com frações e igualdade de polinômios, calcule os números reais A, B e C tais que x+1x(x-1)^2=Ax+Bx-1+C(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
x+1x(x-1)^2
na forma
Ax+Bx-1+C(x-1)^2,
usando igualdade de polinômios (coeficientes iguais em ambos os lados).

Passo 2

Começamos igualando as duas expressões e multiplicando por x(x-1)^2 para eliminar denominadores:
x+1x(x-1)^2 = Ax + Bx-1 + C(x-1)^2
implica
x+1 = A,(x-1)^2 ;+; B,x(x-1) ;+; C,x

Passo 3

Expandindo cada termo do lado direito:
A,(x-1)^2 = A,(x^2-2x+1), B,x(x-1)=B,(x^2-x),
então
x+1 = A x^2-2A x+A ;+; B x^2-B x ;+; C x
Agrupando potências de x:
x+1 = (A+B),x^2 + (-2A - B + C),x + A

Passo 4

Como queremos igualdade de polinômios, comparamos com
x+1 = 0cdot x^2 + 1cdot x + 1
Isso fornece o sistema
A + B = 0, -2A - B + C = 1, A = 1

Passo 5

Da última equação vem A=1. Substituindo em A+B=0 B=-1. Em seguida,
-2cdot1 -(-1) + C = 1 ;Longrightarrow; -2 +1 + C =1 ;Longrightarrow; C=2

Resposta

A=1, B=-1 e C=2.

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