Um resultado bastante útil em matemática é que toda função racional (quociente de funções polinomiais reais) pode ser escrita como soma de funções mais simples. Por exemplo, a função pode ser escrita na forma .
Aplicando os conhecimentos sobre operações com frações e igualdade de polinômios, calcule os números reais e tais que .
Passo 1
O enunciado pede para decompor a função racional
na forma
usando igualdade de polinômios (coeficientes iguais em ambos os lados).
Passo 2
Começamos igualando as duas expressões e multiplicando por para eliminar denominadores:
implica
Passo 3
Expandindo cada termo do lado direito:
então
Agrupando potências de :
Passo 4
Como queremos igualdade de polinômios, comparamos com
Isso fornece o sistema
Passo 5
Da última equação vem A=1. Substituindo em A+B=0 dá B=-1. Em seguida,
-2cdot1 -(-1) + C = 1 ;Longrightarrow; -2 +1 + C =1 ;Longrightarrow; C=2
Resposta
A=1, B=-1 e C=2.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 6: Complexos, polinômios e equações - 8ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 80.a