Sabendo-se que 5 x y=2 y z=8 x z, calcule x, y e z, sendo x+y+z=150.

Passo 1

O enunciado diz que os três produtos
5xy, 2yz, 8xz
são iguais entre si, além de sabermos que
x+y+z=150
O conteúdo aqui é resolver proporções entre variáveis usando igualdades de produtos e depois aplicar a soma para achar os valores numéricos.

Passo 2

Seja k o valor comum, ou seja,
5xy = k, 2yz = k, 8xz = k

Passo 3

Da primeira igualdade 5xy = 2yz dividimos por yneq0:
5x = 2z Longrightarrow z = tfrac52x
Da segunda igualdade 2yz = 8xz dividimos por 2zneq0:
y = 4x

Passo 4

Substituindo em (x,y,z) temos
x : y : z = x : 4x : tfrac52x = 1 : 4 : tfrac52
Multiplicando todos os termos por 2 para ficar inteiro,
x : y : z = 2 : 8 : 5

Passo 5

Seja t o fator comum, então
x = 2t, y = 8t, z = 5t
e da soma x+y+z=150 vem
2t + 8t + 5t = 15t = 150 Longrightarrow t = 10
Logo
x = 2cdot10 = 20, y = 8cdot10 = 80, z = 5cdot10 = 50

Resposta

x = 20, y = 80, z = 50.

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