Sabendo que cos (x)=1raiz10 e 0 <= x <= pi2, determine o valor de tan (x+pi3).

Passo 1

O enunciado dá cos(x)=1raiz10 com 0<= x<=pi2 e pede tan!l(x+pi3r). Vamos usar duas ideias principais: primeiro, encontrar sin(x) (e daí tan(x)) a partir de cos(x) e, segundo, aplicar a fórmula da tangente da soma de ângulos.

Passo 2

Usando sin^2(x)+cos^2(x)=1 e cos(x)=tfrac1raiz10 temos
sin(x) =raiz1-110 =raiz910 =3raiz10
Como x está no primeiro quadrante, sin(x) é positivo. Logo
tan(x) =sin(x)cos(x) =3raiz101raiz10 =3

Passo 3

A fórmula para a tangente da soma é
tan!l(x+pi3r) =tan(x)+tan!l(pi3r)1-tan(x),tan!l(pi3r)
Como tan!l(pi3r)=raiz3, substituímos tan(x)=3:

Passo 4

tan!l(x+pi3r) =3+raiz31-3raiz3
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 1+3raiz3:
(3+raiz3)(1+3raiz3)(1-3raiz3)(1+3raiz3) =3+9raiz3+raiz3+91-27 =12+10raiz3-26 =-6+5raiz313

Resposta

tan!l(x+pi3r) =-6+5raiz313

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