Sabendo que cos (theta)=13, determine os possíveis valores de tan (theta) e os quadrantes aos quais theta pode pertencer.

Passo 1

O enunciado diz que cos(theta)=tfrac13 e pede os possíveis valores de tan(theta) e em quais quadrantes theta pode estar. Vamos usar o sinal de cos para identificar quadrantes e a identidade pitagórica para achar sin(theta), daí obter tan(theta).

Passo 2

Como cos(theta)=tfrac13>0, sabemos que theta pertence aos quadrantes onde o cosseno é positivo, ou seja, primeiro (QI) e quarto (QIV).

Passo 3

Pela identidade pitagórica sin^2(theta)+cos^2(theta)=1, temos
sin^2(theta)=1-l(tfrac13r)^2=1-tfrac19=tfrac89,
logo
sin(theta)=pmraiztfrac89=pmtfrac2raiz23.
O sinal positivo vale em QI e o negativo em QIV.

Passo 4

Definindo tan(theta)=sin(theta)cos(theta), substituímos os valores:
tan(theta) =pmtfrac2raiz23tfrac13 =pm2raiz2
Em QI fica tan(theta)=+2raiz2 e em QIV fica tan(theta)=-2raiz2.

Resposta

tan(theta)=2raiz2 se theta está no QI,
tan(theta)=-2raiz2 se theta está no QIV.

Exercícios de Livros Relacionados