Sabendo que
é uma raiz da equação
,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio
na forma fatorada;
c) resolva a inequação
.
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio
c) resolva a inequação
Passo 1
O enunciado nos dá a equação cúbica
já informando que
é uma raiz. Vamos usar fatoração de polinômios (divisão por
), resolver o quadrático resultante (fórmula de Bhaskara) e depois analisar o sinal dos fatores para a inequação.
Passo 2
Dividimos
por
usando divisão sintética com
:
Coeficientes:
.
O resto é zero e o quociente é
Passo 3
Resolvemos
pela fórmula de Bhaskara:
Como
, a raiz
é de multiplicidade 2.
Passo 4
Concluímos que as raízes reais são
Passo 5
Escrevemos o polinômio na forma fatorada:
Passo 6
Para resolver
usamos a fatoração
. Note que
para todo
e zera somente em
. O sinal do produto fica então determinado por
:
- Se
(ou seja ), o produto é negativo. - Se
ou , o produto é zero. - Para
ou , o produto é positivo.
Portanto a solução da inequação é
Resposta
a) As raízes reais são
e
(dupla).
b)
b)
c)