Sabendo que x=-6 é uma raiz da equação 16 x^3+88 x^2-47 x+6=0,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio 16 x^3+88 x^2-47 x+6 na forma fatorada;
c) resolva a inequação 16 x^3+88 x^2-47 x+6 <= 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação cúbica
16x^3 + 88x^2 - 47x + 6 = 0
já informando que x=-6 é uma raiz. Vamos usar fatoração de polinômios (divisão por (x+6)), resolver o quadrático resultante (fórmula de Bhaskara) e depois analisar o sinal dos fatores para a inequação.

Passo 2

Dividimos
por usando divisão sintética com :
Coeficientes: .
O resto é zero e o quociente é

Passo 3

Resolvemos
16x^2 - 8x + 1 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
D = (-8)^2 - 4cdot16cdot1 = 64 - 64 = 0,
x = 8 pm raiz02cdot16 = 832 = tfrac14
Como D=0, a raiz tfrac14 é de multiplicidade 2.

Passo 4

Concluímos que as raízes reais são
x = -6, x = tfrac14(dupla)

Passo 5

Escrevemos o polinômio na forma fatorada:
16x^3 + 88x^2 - 47x + 6 = (x+6)l(16x^2 - 8x + 1r) = (x+6),(4x - 1)^2

Passo 6

Para resolver
16x^3 + 88x^2 - 47x + 6 <= 0
usamos a fatoração (x+6)(4x-1)^2. Note que (4x-1)^2>=0 para todo x e zera somente em x=tfrac14. O sinal do produto fica então determinado por x+6:
  • Se x+6<0 (ou seja x< -6), o produto é negativo.
  • Se x=-6 ou x=tfrac14, o produto é zero.
  • Para -6<x<tfrac14 ou x>tfrac14, o produto é positivo.
Portanto a solução da inequação é
x<= -6 ou x=tfrac14

Resposta

a) As raízes reais são x=-6 e x=tfrac14 (dupla).
b)
16x^3 + 88x^2 - 47x + 6 = (x+6)(4x-1)^2
c)
xmid 16x^3+88x^2-47x+6<=0 = (-infty,-6]cuptfrac14

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