Sabendo que x=5 é uma raiz da equação -x^3+5 x^2+4 x-20=0,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio -x^3+5 x^2+4 x-20 na forma fatorada;
c) resolva a inequação -x^3+5 x^2+4 x-20 <= 0.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio -x^3+5x^2+4x-20 e diz que x=5 é uma raiz. Pede:
a) todas as raízes reais desta equação;
b) escrever o polinômio na forma fatorada;
c) resolver a inequação -x^3+5x^2+4x-20<=0.
Conteúdo: raízes de polinômios, divisão de polinômios, fatoração e estudo de sinal para inequações.

Passo 2

Como x=5 é raiz, podemos dividir
-,x^3+5x^2+4x-20
por (x-5). Usando divisão sintética (ou tradicional), obtemos o quociente
-,x^2+0cdot x+4;=;-,x^2+4
e resto zero.

Passo 3

Para achar as outras raízes, resolvemos
-,x^2+4=0
que equivale a
x^2=4
Logo
x=2ou x=-2
Assim as raízes reais são x=-2,,2,,5.

Passo 4

O polinômio original fatora-se então como
-,x^3+5x^2+4x-20 = (x-5)l(-,x^2+4r) =(x-5)l(-1r)(x^2-4) = -,(x-5)(x-2)(x+2)

Passo 5

Para resolver
-,x^3+5x^2+4x-20<=0
escrevemos
-,(x-5)(x-2)(x+2)<=0
e dividimos por -1, invertendo a desigualdade:
(x-5)(x-2)(x+2)>=0
Os zeros são -2,2,5. Estudando o sinal em cada intervalo:
- x<-2: três fatores negativos to produto negativo;
- -2<x<2: um fator negativo x-2 e dois positivos to positivo;
- 2<x<5: um fator negativo x-5 to produto negativo;
- x>5: todos positivos to positivo.
Como queremos produto >=0, ficamos com
xin[-2,2]cup[5,infty)

Resposta

a) As raízes reais são x=-2, x=2 e x=5.
b)
-,x^3+5x^2+4x-20 = -,(x-5)(x-2)(x+2)
c)
xmid -x^3+5x^2+4x-20<=0 = [-2,2]cup[5,infty)

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