Sabendo que
é uma raiz da equação
,
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio
na forma fatorada;
c) resolva a inequação
.
a) determine todas as raízes reais da equação;
b) escreva o polinômio
c) resolva a inequação
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e diz que
é uma raiz. Pede:
a) todas as raízes reais desta equação;
b) escrever o polinômio na forma fatorada;
c) resolver a inequação .
Conteúdo: raízes de polinômios, divisão de polinômios, fatoração e estudo de sinal para inequações.
a) todas as raízes reais desta equação;
b) escrever o polinômio na forma fatorada;
c) resolver a inequação
Conteúdo: raízes de polinômios, divisão de polinômios, fatoração e estudo de sinal para inequações.
Passo 2
Como
é raiz, podemos dividir
por
. Usando divisão sintética (ou tradicional), obtemos o quociente
e resto zero.
Passo 3
Para achar as outras raízes, resolvemos
que equivale a
Logo
Assim as raízes reais são
.
Passo 4
O polinômio original fatora-se então como
Passo 5
Para resolver
escrevemos
e dividimos por
, invertendo a desigualdade:
Os zeros são
. Estudando o sinal em cada intervalo:
: três fatores negativos
produto negativo;
: um fator negativo
e dois positivos
positivo;
: um fator negativo
produto negativo;
: todos positivos
positivo.
Como queremos produto , ficamos com
Como queremos produto
Resposta
a) As raízes reais são
,
e
.
b)
b)
c)