O que são assíntotas horizontais, verticais e oblíquas? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que são assíntotas horizontais, verticais e oblíquas, usando conceitos de limite de função e equação de reta. Para isso vamos precisar de:
– Definição de limite impróprio em pontos finitos e no infinito.
– Equação geral de reta y=mx+b.

Passo 2

Uma assíntota vertical é a reta x=a tal que
\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.
Exemplo: para f(x)=\tfrac{1}{x-2}, quando x\to2 o denominador vai a zero e f(x)\to\pm\infty. Logo x=2 é assíntota vertical.

Passo 3

Uma assíntota horizontal é a reta y=L tal que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=L \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L.
Exemplo: para f(x)=\tfrac{2x+3}{x-1}, ao calcular
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+3}{x-1} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2+\tfrac{3}{x}}{1-\tfrac{1}{x}}=2,
vemos que y=2 é assíntota horizontal.

Passo 4

Uma assíntota oblíqua é uma reta y=mx+b com m\neq0 tal que
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-(mx+b)\bigr)=0.
Exemplo: para f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}, obtemos
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{x^2}\Bigr)=1,
b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-x\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0.
Assim y=x é assíntota oblíqua.

Resposta

Assíntota vertical: reta x=a onde f(x)\to\pm\infty (ex.: f(x)=1/(x-2) tem x=2).
Assíntota horizontal: reta y=L onde \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L (ex.: f(x)=(2x+3)/(x-1) tem y=2).
Assíntota oblíqua: reta y=mx+b com m\neq0 e \lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-(mx+b))=0 (ex.: f(x)=(x^2+1)/x tem y=x).

Exercícios de Livros Relacionados