Se a e b são números racionais positivos, mostre que [a][b] <=[ab].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a e b racionais positivos, vale
[a],[b]<= [ab]
O conteúdo aqui é a parte inteira (função piso) de produtos. Vamos decompor cada número em parte inteira e parte fracionária.

Passo 2

Seja m = [a] e n = [b]. Definimos as partes fracionárias
alpha = a - m, beta = b - n,
de modo que
0 <= alpha < 1, 0 <= beta < 1

Passo 3

Da definição de parte inteira temos
m <= a < m+1, n <= b < n+1
Multiplicando essas duas desigualdades:
mn <= ab < (m+1)(n+1) = mn + m + n + 1

Passo 4

Pela definição de parte inteira, [ab] é o maior inteiro menor ou igual a ab. Como mn já é inteiro e satisfaz mn <= ab, obtemos
[ab] >= mn

Passo 5

Como mn = [a],[b], segue imediatamente
[a],[b] <= [ab]

Resposta

[a],[b]<= [ab].

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