Se a e b são números racionais positivos, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
e
racionais positivos, vale
O conteúdo aqui é a parte inteira (função piso) de produtos. Vamos decompor cada número em parte inteira e parte fracionária.
Passo 2
Seja
e
. Definimos as partes fracionárias
de modo que
Passo 3
Da definição de parte inteira temos
Multiplicando essas duas desigualdades:
Passo 4
Pela definição de parte inteira,
é o maior inteiro menor ou igual a
. Como
já é inteiro e satisfaz
, obtemos
Passo 5
Como
, segue imediatamente