Uma seção plana que contém o eixo de um tronco de cilindro é um trapézio cujas bases menor e maior medem, respectivamente, h cm e H cm. Duplicando a base menor, o volume sofre um acréscimo de 13 em relação ao seu volume original. Determine H em função de h.

Passo 1

O enunciado descreve um tronco de cone circular reto cuja seção plana contendo o eixo é um trapézio de bases menores de comprimento h e maiores de comprimento H. O conteúdo é volume de tronco de cone, cuja fórmula depende da altura d do tronco e dos diâmetros (ou comprimentos) das bases.

Passo 2

Seja d a altura do tronco de cone. Denotando por R e r os raios das bases maior e menor, temos H=2R e h=2r. A fórmula do volume do tronco de cone é
V=pi d3l(R^2+Rr+r^2r)
Substituindo R=tfracH2 e r=tfrach2 resulta
V =pi d3l(H^24+Hh4+h^24r) =pi d12l(H^2+Hh+h^2r)

Passo 3

Agora duplicamos a base menor, trocando h por 2h. O novo volume é
V'=pi d12l(H^2+H,(2h)+(2h)^2r) =pi d12l(H^2+2Hh+4h^2r)

Passo 4

Segundo o enunciado, V' é tfrac43 vezes V. Então
V'V =H^2+2Hh+4h^2H^2+Hh+h^2 =43
Multiplicando em cruz:
3l(H^2+2Hh+4h^2r) =4l(H^2+Hh+h^2r) ;Longrightarrow; -,H^2+2Hh+8h^2=0

Passo 5

A equação quadrática em H é
H^2-2Hh-8h^2=0
Usando a fórmula de Bhaskara:
H=2hpmraiz4h^2+32h^22 =2hpm6h2
Desconsideramos a solução negativa e ficamos com
H=4h

Resposta

H=4h

Exercícios de Livros Relacionados