Secciona-se um tronco de pirâmide de bases paralelas por um plano paralelo às bases, de modo que a razão entre os volumes dos sólidos obtidos é pq. Ache a área da seção, conhecendo as áreas B e b das bases do tronco.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases paralelas têm áreas B (base maior) e b (base menor). Um plano paralelo às bases o secciona em dois sólidos cujos volumes estão na razão
VinferiorVsuperior=pq
Queremos achar a área S dessa seção. Para isso vamos modelar o tronco como diferença de volumes de pirâmide completa e usar semelhança de seções transversais (áreas variam com o quadrado da razão linear) e volumes de pirâmide (variam com o cubo).

Passo 2

Considere a pirâmide completa de ápice no vértice e base de área B e altura H. A uma certa distância z do ápice, a área da seção transversal é
A(z)=Bl(tfraczHr)^2
Em particular, o plano que gera a base menor b está a uma distância
z1=HraiztfracbB,
pois A(z1)=b.

Passo 3

O volume de pirâmide entre duas seções a distâncias a e b do ápice é
V(a,b)=13integrala^bA(z),dz =B3H^2l(b^3-a^3r)
Logo o volume da parte superior do tronco (entre z1 e z) é
Vsup=B3H^2l(z^3-z1^3r),
e o da parte inferior (entre z e H) é
Vinf=B3H^2l(H^3-z^3r)

Passo 4

Pela razão dada,
VinfVsup =H^3-z^3,z^3-z1^3, =pq
Rearranjando,
(p+q),z^3 = q,H^3+p,z1^3 = q,H^3+p,l(HraiztfracbBr)^3 =H^3l(q + pl(tfracbBr)^3/2r)
Assim
z^3 =H^3l(q + p,(b/B)^3/2r)p+q

Passo 5

A área da seção procurada é
S=A(z)=Bl(tfraczHr)^2 =Bl(z^3r)^2/3/H^2 =Bl(H^3l(q + p,(b/B)^3/2r)(p+q),H^3r)^2/3 =l(q,B^3/2+p,b^3/2p+qr)^2/3

Resposta

S=l(q,B^3/2+p,b^3/2p+qr)^!2/3

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