Numa seção plana feita a uma distância de 2 m do centro de uma esfera, está inscrito um triângulo equilátero de área
. Determine o volume do tronco de cone circular cujas bases são a seção referida e a seção diametral que the é paralela.
Passo 1
Temos uma esfera de raio
. Um plano a distância
metros do centro corta a esfera num círculo de raio
. Nesse círculo está inscrito um triângulo equilátero de área
. A outra base do tronco de cone é o círculo da seção diametral (plano que passa pelo centro), de raio igual a
. Precisamos achar o volume deste tronco de cone. Vamos usar:
- Fórmula da área do triângulo equilátero
- Geometria de seção de esfera por plano
- Fórmula do volume de tronco de cone
Passo 2
Seja
o lado do triângulo equilátero inscrito. Como
temos
O raio do círculo circunscrito a esse triângulo é
Passo 3
Na esfera, a relação entre raio da seção e distância ao centro é
Substituindo
e
,
Passo 4
O tronco de cone tem:
– raio maior (seção diametral),
– raio menor (seção a
~m do centro),
– altura ~m (distância entre os planos).
– raio maior
– raio menor
– altura
Passo 5
A fórmula do volume de um tronco de cone é
Substituindo
,
,
e
,