Numa seção plana feita a uma distância de 2 m do centro de uma esfera, está inscrito um triângulo equilátero de área 3 raiz3 m^2. Determine o volume do tronco de cone circular cujas bases são a seção referida e a seção diametral que the é paralela.

Passo 1

Temos uma esfera de raio R. Um plano a distância d=2 metros do centro corta a esfera num círculo de raio r. Nesse círculo está inscrito um triângulo equilátero de área 3raiz3. A outra base do tronco de cone é o círculo da seção diametral (plano que passa pelo centro), de raio igual a R. Precisamos achar o volume deste tronco de cone. Vamos usar:
  • Fórmula da área do triângulo equilátero
  • Geometria de seção de esfera por plano
  • Fórmula do volume de tronco de cone

Passo 2

Seja a o lado do triângulo equilátero inscrito. Como
raiz34,a^2 = 3raiz3,
temos
a^2 = 3raiz3cdot4raiz3 = 12 Longrightarrow a = 2raiz3
O raio do círculo circunscrito a esse triângulo é
r = araiz3 = 2raiz3raiz3 = 2

Passo 3

Na esfera, a relação entre raio da seção e distância ao centro é
r^2 = R^2 - d^2
Substituindo r=2 e d=2,
R^2 = r^2 + d^2 = 2^2 + 2^2 = 8 Longrightarrow R = 2raiz2

Passo 4

O tronco de cone tem:
– raio maior R1 = R = 2raiz2 (seção diametral),
– raio menor R2 = r = 2 (seção a 2~m do centro),
– altura h = 2~m (distância entre os planos).

Passo 5

A fórmula do volume de um tronco de cone é
V = pi,h3l(R1^2 + R2^2 + R1R2r)
Substituindo h=2, R1^2=(2raiz2)^2=8, R2^2=4 e R1R2=2raiz2cdot2=4raiz2,
V = picdot23l(8 + 4 + 4raiz2r) = 2pi3(12 + 4raiz2) = 8pi3,(3 + raiz2)

Resposta

V = 8pi3,l(3 + raiz2r) m^3

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