A seção reta de um tronco do prisma triangular de volume
tem área de B
. Duas arestas laterais são
e
. Determine a outra.
Passo 1
O enunciado fala de um tronco de prisma triangular cujo volume é
e em que uma certa seção reta – isto é, o plano que corta as três arestas laterais – tem área
. Nessas três arestas laterais, os comprimentos dos dois segmentos são dados:
e
; o terceiro segmento (que corta a última aresta lateral) é
, que precisamos achar.
O ponto-chave é usar que, se uma secção reta de um prisma triangular intercepta as arestas laterais em comprimentos
,
e
e essa secção tem área
, então o volume do tronco entre a base e essa secção é dado por
Passo 2
Vamos justificar a fórmula
Considere as três arestas laterais paralelas do prisma. Corte o sólido por planos perpendiculares a essas arestas, de modo que cada plano gere uma seção de área que varia linearmente conforme avançamos ao longo da aresta. Se parametrizarmos cada aresta lateral por uma variável
indo de
até, digamos,
(ou
, ou
), a área da seção naquele ponto é proporcional a
. Integrando essa relação linear sobre cada aresta e somando os três resultados, chega-se a
No entanto, repare que cada ponto interior do tronco é contado duas vezes nessa “sobreposição” das três integrais, de modo que o correto é dividir por mais
. O resultado final é
Passo 3
Dessa relação direta entre
,
,
,
e
, basta isolar
. Temos