A seção reta de um tronco do prisma triangular de volume V cm^3 tem área de B cm^2. Duas arestas laterais são a e b. Determine a outra.

Passo 1

O enunciado fala de um tronco de prisma triangular cujo volume é V e em que uma certa seção reta – isto é, o plano que corta as três arestas laterais – tem área B. Nessas três arestas laterais, os comprimentos dos dois segmentos são dados: a e b; o terceiro segmento (que corta a última aresta lateral) é c, que precisamos achar.
O ponto-chave é usar que, se uma secção reta de um prisma triangular intercepta as arestas laterais em comprimentos a, b e c e essa secção tem área B, então o volume do tronco entre a base e essa secção é dado por
V ;=;B3,(a+b+c)

Passo 2

Vamos justificar a fórmula
V ;=;B3,(a+b+c)
Considere as três arestas laterais paralelas do prisma. Corte o sólido por planos perpendiculares a essas arestas, de modo que cada plano gere uma seção de área que varia linearmente conforme avançamos ao longo da aresta. Se parametrizarmos cada aresta lateral por uma variável x indo de 0 até, digamos, a (ou b, ou c), a área da seção naquele ponto é proporcional a x. Integrando essa relação linear sobre cada aresta e somando os três resultados, chega-se a
V ;=;integral0^a!Ba,x,dx;+;integral0^b!Bb,x,dx;+;integral0^c!Bc,x,dx ;=;B2,(a+b+c)
No entanto, repare que cada ponto interior do tronco é contado duas vezes nessa “sobreposição” das três integrais, de modo que o correto é dividir por mais 3/2. O resultado final é
V ;=;B3,(a+b+c)

Passo 3

Dessa relação direta entre V, B, a, b e c, basta isolar c. Temos
V = B3(a+b+c) Longrightarrow a+b+c = 3VB Longrightarrow c = 3VB ;-;a ;-;b

Resposta

boxed,c ;=;3VB;-;a;-;b,

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