Quais das seguintes sucessões complexas convergem?
1-i cos pi n2^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência complexa
an com
an = 1 - i,cos(pi n)2^n
O conteúdo aqui é teste de convergência de sequência complexa: uma sequência complexa converge se, e somente se, suas partes real e imaginária convergem.

Passo 2

Vamos separar as partes real e imaginária. Sabemos que
cos(pi n)=(-1)^n,
logo
an = 1 - i,(-1)^n2^n
Dessa forma, a parte real é
Re(an)=1
e a parte imaginária é
Im(an)=-(-1)^n2^n.

Passo 3

Analisamos o limite da parte imaginária:
limntoinftyIm(an) =limntoinftyl(-(-1)^n2^nr)
Como l|(-1)^n/2^nr|=1/2^nto0, segue que
Im(an)to0.
A parte real é constante igual a 1, logo converge para 1.

Resposta

A sequência converge, e seu limite é 1.

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