Seja 0 <= x <= 180^circ, com sen(x)=12 / 13. Calcule cos (x) e cos (x+180^circ).

Passo 1

O enunciado dá o valor de sin x = tfrac1213 no intervalo 0^circ <= x <= 180^circ e pede cos x e cos(x+180^circ). Vamos usar a identidade pitagórica e a fórmula de soma de ângulos.

Passo 2

Pela identidade
sin^2 x + cos^2 x = 1
temos
cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - l(tfrac1213r)^2 = 1 - tfrac144169 = tfrac25169,
logo
cos x = pm raiztfrac25169 = pm tfrac513

Passo 3

Como sin x>0 e 0^circ <= x <= 180^circ, x está no primeiro ou no segundo quadrante. No primeiro quadrante ( 0^circ <= x <= 90^circ) o cosseno é positivo, e no segundo ( 90^circ < x <= 180^circ) é negativo. Portanto:
cos x = tfrac513, & 0^circ <= x <= 90^circ, -tfrac513, & 90^circ < x <= 180^circ

Passo 4

Usamos a fórmula
cos(x+180^circ) = cos xcos 180^circ - sin xsin 180^circ = cos x cdot (-1) - sin x cdot 0 = -cos x
Logo:
cos(x+180^circ) = -tfrac513, & se cos x = tfrac513, ;tfrac513, & se cos x = -tfrac513

Resposta

Para 0^circ <= x <= 90^circ:
cos x = tfrac513,
cos(x+180^circ) = -tfrac513
Para 90^circ < x <= 180^circ:
cos x = -tfrac513,
cos(x+180^circ) = tfrac513

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