Usando uma calculadora científica, é fácil obter os valores das funções trigonométricas de qualquer ângulo. Mas o que devemos fazer se dispusermos de uma calculadora que efetua apenas as quatro operações aritméticas básicas?
Uma forma de calcular o seno e o cosseno de um ângulo (em radianos) próximo de 0 , consiste em empregar as séries
& sen(x)=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots & cos (x)=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots
em que n! representa o fatorial do número natural n.
Embora as séries acima envolvam infinitos termos, podemos obter boas aproximações para o seno e o cosseno somando apenas os quatro primeiros termos de cada uma, ou seja, usando a aproximação
& sen(x) approx x-x^36+x^5120-x^75040 & cos (x) approx 1-x^22+x^424-x^6720
Usando essas fórmulas, calcule aproximadamente o valor de sen(pi / 9) e de cos (pi / 9).

Passo 1

O enunciado pede aproximar sin(pi/9) e cos(pi/9) usando as fórmulas truncadas das séries de Taylor em torno de 0:
sin(x)approx x - x^36 + x^5120 - x^75040,
cos(x)approx 1 - x^22 + x^424 - x^6720
Vamos tomar x=pi/9, calcular suas potências até x^7 e dividir pelos respectivos fatoriais.

Passo 2

Calculemos x e as potências necessárias (arredondando a 5 casas decimais):
x = pi9approx 0,34907
x^2 approx 0,34907^2 = 0,12187, x^3 = x^2cdot x approx 0,04253,
x^4 = x^2^2 approx 0,01485, x^5 = x^4cdot x approx 0,00518,
x^6 = x^5cdot x approx 0,00181, x^7 = x^6cdot x approx 0,00063
Em seguida os termos com fatoriais:
x^36approx 0,00709, x^5120approx 0,00004, x^75040approx 0,00000013,
x^22approx 0,06094, x^424approx 0,00062, x^6720approx 0,0000025

Passo 3

Agora aplicamos na fórmula de sin(x):
sinl(tfracpi9r)approx x ;-;x^36;+;x^5120;-;x^75040 approx 0,34907-0,00709+0,00004-0,00000013 approx 0,34202

Passo 4

E na fórmula de cos(x):
cosl(tfracpi9r)approx 1 ;-;x^22;+;x^424;-;x^6720 approx 1-0,06094+0,00062-0,0000025 approx 0,93969

Resposta

sinl(tfracpi9r)approx0,34202, cosl(tfracpi9r)approx0,93969.

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