(UF-CE) Seja A=x in N ; 1 <= x <= 10^12, em que N indica o conjunto dos números naturais. O número de elementos de A que não são quadrados perfeitos ou cubos perfeitos é igual a:
a) 10^6.
b) 10^12-10^6-10^4+10^2.
c) 10^12-10^6+10^4-10^2.
d) 10^12+10^6+10^4+10^2.
e) 10^6+10^4+10^2.

Passo 1

Resumindo: queremos contar quantos números em A=1,2,dots,10^12 não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos. O conteúdo é contagem por inclusão-exclusão, usando:
  • S=#quadrados
  • C=#cubos
  • T=#sextos perfeitos, pois 6=mcm(2,3).

Passo 2

Contagem dos quadrados perfeitos: todo quadrado até 10^12 é da forma n^2<=10^12. O maior n é
n=lfloorraiz10^12rfloor=10^6
Logo S=10^6.

Passo 3

Contagem dos cubos perfeitos: todo cubo até 10^12 é da forma m^3<=10^12. O maior m é
m=lfloorraiz[3]10^12rfloor=10^4
Logo C=10^4.

Passo 4

Contagem dos números que são simultaneamente quadrados e cubos (sextos perfeitos): são ell^6<=10^12. O maior ell é
ell=lfloor(10^12)^1/6rfloor=10^2
Logo T=10^2.

Passo 5

Pela inclusão-exclusão, o total de quadrados ou cubos é
S+C-T =10^6+10^4-10^2
Portanto os que não são quadrado nem cubo são
10^12 - l(10^6+10^4-10^2r) =10^12-10^6-10^4+10^2

Resposta

b) 10^12-10^6-10^4+10^2

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