(UE-CE) Seja n um número natural, que possui exatamente três divisores positivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n^3. O número de elementos do conjunto das partes de X é:
a) 64
b) 128
c) 256
d) 512

Passo 1

O enunciado diz que n é um número natural com exatamente três divisores positivos e que X é o conjunto de todos os divisores positivos de n^3. Queremos o número de elementos do conjunto das partes de X.
Conteúdo: teoria de divisores ( tau) e contagem de subconjuntos.

Passo 2

Um número natural tem exatamente três divisores positivos somente se ele for o quadrado de um primo. Isto é, existe um primo p tal que
n = p^2,
pois tau(p^2)=2+1=3.

Passo 3

Calculemos os divisores de n^3. Como n=p^2, temos
n^3 = (p^2)^3 = p^6
Pelo fórmula dos divisores,
tau(p^6)=6+1=7
Logo lvert Xrvert=7.

Passo 4

O número de elementos do conjunto das partes de X é
2^lvert Xrvert = 2^7 = 128

Resposta

(b) 128

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