Seja M uma relação sobre N definida por:
9=(x ; y) in N^2 mid 2 x+y=10
Determine:
a) D(M)
b) I(M)
c) M^-1
Solução:
Note que os únicos pares, com coordenadas em N, que satisfazem à sentença 2 x+y=10 são: (1 ; 8),(2 ; 6),(3 ; 4),(4 ; 2). Então:
M=(1 ; 8),(2 ; 6),(3 ; 4),(4 ; 2)
a) D(M)=1 ; 2 ; 3 ; 4
b) I(M)=8 ; 6 ; 4 ; 2
c) M^-1=(8 ; 1),(6 ; 2),(4 ; 3),(2 ; 4) ou utilizando-nos do raciocínio do exemplo dado ao definirmos relação inversa:
M^-1=(x ; y) in N^2 mid 2 y+x=10
Note que nessa representação a sentença que define M^-1 foi obtida da sentença que define M, trocando-se nesta as variáveis x e y, uma pela outra.

Passo 1

O enunciado define a relação MsubseteqN^2 por
M = (x ; y)inN^2 mid 2x + y = 10
e pede:
(a) o domínio D(M),
(b) a imagem I(M),
(c) a relação inversa M^-1.

Passo 2

Para achar todos os pares em M, reescrevemos
y = 10 - 2x
e exigimos x,yinN. Como assumimos N=1,2,3,dots, temos
10 - 2x >= 1 Longrightarrow 2x <= 9 Longrightarrow x <= 4,5,
logo xin1,2,3,4. Substituindo:
x=1Rightarrow y=8,
x=2Rightarrow y=6,
x=3Rightarrow y=4,
x=4Rightarrow y=2
Portanto
M = (1 ; 8),,(2 ; 6),,(3 ; 4),,(4 ; 2)

Passo 3

O domínio D(M) é a projeção dos primeiros componentes de cada par em M, e a imagem I(M) é a projeção dos segundos componentes. Assim:
D(M) = 1,2,3,4, I(M) = 8,6,4,2

Passo 4

A inversa M^-1 troca cada par (x;y) de M por (y;x). Logo
M^-1 = (8 ; 1),,(6 ; 2),,(4 ; 3),,(2 ; 4)
Alternativamente, nota-se que
M^-1 = (x ; y)inN^2 mid 2y + x = 10

Resposta

(a) D(M) = 1,2,3,4
(b) I(M) = 8,6,4,2
(c) M^-1 = (8 ; 1),,(6 ; 2),,(4 ; 3),,(2 ; 4)

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